浮点数运算

admin

一、浮点数的规格化

为使浮点数的表示具有唯一性并提高数据表示的精确度，提出了浮点数规格化的概念，从理论上讲，也就是使浮点数尾数的真值表示中其最高位的值非零。对于不同的数据表示，要达到规格化要求的尾数具有不同的表现形式，以双符号补码表示为例，当尾数运算结果形如11．0××…×或00．1××…×，即符号位与最高有效数据位不同时，就表明是规格化数；其它形式的尾数均为非规格化尾数，以补码为例，这些非规格化的尾数形式包括：11．1××…×、00．0××…×、10．××…×及01．××…×。
当浮点数尾数为不规格化形式时，需要对其进行规格化处理：
●当尾数为01．××…×或10．××…×时,说明尾数结果的绝对值大于1，此时只要将尾数向右算术移动一位，同时阶码值加1,就能使浮点数保持结果正确且达到规格化形式。称为右移规格化。
●当尾数为11．1××…×或00．0××…×时需要左移规格化，每算术左移一次，阶码减1，直到变成规格化数。

二、浮点数的加/减运算算法

1．阶码和尾数采用补码表示的浮点数加、减运算
设有两个浮点数：
对x与y两个数作加/减法运算，则有：
　　
浮点加、减法运算过程通常需要经过如下五个步骤：

（1）对阶：对接的目的是为了使两数的阶码变成相同，便于后续运算。对阶先求两浮点数阶码的差，然后基于小阶向大阶看齐的对接原则，增加小阶码的值同时右移对应浮点数的尾数，直到两浮点数的阶码相等；

（2）尾数运算：按照定点数的加、减运算法则对对阶后的尾数执行加/减操作；

（3）结果规格化：对结果的尾数进行规格化操作；

（4）舍入：
在对阶右移和结果右移规格化过程中，由于机器字长固定的原因，可能会丢掉部分尾数，舍入步骤就是对这种情况进行处理，以减少误差。有多种可供选择的舍入方法，如“末位恒置显1法”和“0舍1入法”等。在具体实现上，舍入既可以在最后进行，也可以在对阶和右移规格化过程中进行。

（5）溢出判断
浮点数阶码的位数决定数据范围，故浮点数的溢出以阶码的溢出为判断标志，即当阶码的双符号位为01和10时，表明运算结果溢出。对浮点数的加/减运算而言,对结果进行右移规格化的过程中，阶码值会增加，可能导致溢出。另外,还要注意舍入操作也可能使本来规格化的尾数变成非规划化数,如果由此大致右移规格化,也可能导致溢出。

具体算例如下：

例：设 ，当阶码为5位（含2位符号），尾数为7位（含2位符号）时，用补码二进制浮点运算方法，计算x+y，舍入采用0舍1入法。
解：将x和y用二进制数表示

（1）对阶
先求阶差：
将[y]补的阶码加1，尾数右移1位,对移出的尾数采用0舍1入的舍入方法
　　
（2）尾数相加运算:

　　
（3） 结果规格化
两次左规操作,同时阶码值减2,得
　　
（4）溢出判断
阶码的双符号位相同，没有发生溢出,最后的结果为：
　　
2．IEEE754浮点数的加/减运算
IEEE754浮点数的加/减运算过程与采用补码表示阶码和尾数的浮点数的运算步骤相同，此处不再赘述，但需要关注以下两点：
1）IEEE754浮点数阶码为8位，对应的真值范围为[-128 ，127]，由于IEEE754的尾数的实际形式为1．xxx…x，因此，阶码真值的实际范围为[-127，128]。采用了偏移值为127的移码，阶码真值的实际范围为[0，255]，因此,阶码的机器数都为非负整数；
2）移码的加/减运算不同于补码,请参照第二章移码的加/减运算法则。

三、 浮点数的乘/除法运算

浮点数的乘/除法运算相对其加/减运算而言更为简单，可转化成两数阶码的加/减运算和尾数的乘/除运算，而定点尾数的乘/除运算其实也可以转换成加法运算实现。为了提高浮点运算的速度，可在浮点运算器中设置两个加法器，一个用于阶码的运算，另一个加法器同时进行尾数的加法运算，最后还需要对结果进行规格化。
浮点数乘/除运算时阶码加/减操作、右移规格化和舍入过程中都有可能产生溢出。由于浮点运算电路逻辑结构比较复杂，请大家参考教材或其他参考资料。