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z变换

2015-4-7 07:36| 发布者: admin| 查看: 4264| 评论: 0

摘要:   z变换的思想来源于连续系统。线性连续系统的动态及稳态性能,可以用拉氏变换的方法进行分析。与此相似,线性离散系统的性能可以采用z变换的方法来获得。z变换是从拉氏变换直接引伸出来的一种变换方法,它实际上 ...
  z变换的思想来源于连续系统。线性连续系统的动态及稳态性能,可以用拉氏变换的方法进行分析。与此相似,线性离散系统的性能可以采用z变换的方法来获得。z变换是从拉氏变换直接引伸出来的一种变换方法,它实际上是采样函数拉氏变换的变形。因此,z变换又称采样拉氏变换,是研究离散系统的重要数学工具。
  1. z变换的定义
  引入一个新复变量
                  (1)
  或              (2)
  从而有 
       (3)
  称为离散时间函数的z变换。z变换实际是一个无穷级数形式,它必须是收敛的。就是说,极限
          
  存在时,的z变换才存在。
  在z变换过程中,由于考虑的是连续时间函数f(t)经采样后的离散时间函数,或者说考虑的是在采样瞬间的采样值,所以上式只表示连续时间函数f(t)在采样时刻的特性,而不能反映两个采样时刻之间的特性。从这个意义上说,连续时间函数f(t)与相应的离散时间函数具有相同的z变换,即
          (4)
  常用时间函数的z变换见表1。
                表1 拉氏变换和z变换表

  2. z变换的性质和定理
  与拉氏变换相同,z变换有很多重要性质,可用于计算或直接分析离散控制系统,其中最常用的性质有:
  (1) 线性性质
          (5)
  (2) 求和定理(又称叠值定理)
                (6)
  (3) 平移定理
  如果对于t﹤0有f(t)=0 ,并且f(t)有z变换f(z),则
           (7)
                 (8)
  (4) 初值定理
  如果f(t)有z变换F(z),且极限存在,则f(t)或f(k)的初始值f(0)为
              (9)
  (5) 终值定理
         (10)
  运用终值定理的条件是:当z≥1时,(z-1)F(z)对z的所有导数都存在。
  (6) z变换的微分
           (11)
  (7) z变换的积分
         (12)
  (8) 卷积定理
  设称为两序列f1(kt)和f2(kt)的卷积,用“*”表示。则
          (13)
  (9) 比例尺变化
              (14)
  3. 用z变换法解线性常系数差分方程
  采用z变换法解线性常系数差分方程和利用拉氏变换法解微分方程相类似。解的过程是先将差分方程经z变换后成为z的代数方程,然后求出未知序列的z表达式Y(z),最后查z变换表或用其他方法求得y(k)。
  〖例1〗用z变换法解下列差分方程
  
  初始条件为y(0)=0,y(1)=1。
  解:对上式进行z变换得
  
  代入初始条件,并解得
  
  查表求逆z变换得
  
  可见,用z变换法解线性常系数差分方程时,关键在于求逆z变换。
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