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随机过程的部分描述——数字特征

2015-3-24 08:53| 编辑:电工学习网| 查看: 4078| 评论: 0

 

  虽然用随机过程的 维分布函数或 维概率密度函数能够完善地描述随机过程的统计特性。但在实际工作中,有时不易或不需要求解出维分布函数或维概率密度函数,而用随机过程的数字特征即能刻画随机过程的重要特征,又便于进行运算和实际测量,从而更简捷地解决实际工程问题。随机过程的数字特征包括数学期望、方差和相关函数等。
  一、数学期望(均值或统计平均)
  定义:

  并记为是一时间函数,它表示随机过程各个时刻的数学期望随时间的变化情况,其本质就是随机过程所有样本函数的统计平均函数。图3.2.1画出了随机过程个样本函数和它的数学期望
图3.2.1 随机过程的数学期望和方差

  二、方差
  定义:
  由此可得
  也常记作,它表示随机过程在时刻对于均值的偏离程度,见图3.2.1。称为随机过程均方差。
  当均值时,方差为
  三、自协方差函数和自相关函数
  数学期望和方差描述了随机过程在各个孤立时刻的特征,但没有反映随机过程不同时刻之间的内在联系。自协方差函数和自相关函数就是用来衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性的。
  1.自协方差函数
  定义
  其中,为两个任意时刻;为在上所得到的数学期望;为二维概率密度函数。
  2.自相关函数
  定义
  二者关系:
  上面的和是衡量同一个随机过程的相关程度的。
  四、互协方差和互相关函数
  如果把自相关函数的概念引伸到两个或多个随机过程中,可以得互协方差或互相关函数。设分别表示两个随机过程,则
  1.互协方差函数
  定义
  2.互相关函数
  定义
  由以上分析可见,随机过程的统计特性一般都与时刻有关。就相关函数而言,它的相关程度与选择时刻有关。如果,可令,则自相关函数可以表示为,这说明,相关函数依赖于起始时刻及时间间隔,即相关函数是的函数。

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