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逻辑函数表达式的标准形式

2015-3-19 08:05| 来源:电工学习网| 查看: 6579| 评论: 0

摘要:   逻辑函数表达式的标准形式有标准“与-或”表达式和标准“或-与”表达式两种类型。两种标准形式是建立在最小项和最大项概念的基础之上的。   1.最小项和最大项   (1)最小项   定义:如果一个具有n个变量 ...

  逻辑函数表达式的标准形式有标准“与-或”表达式和标准“或-与”表达式两种类型。两种标准形式是建立在最小项和最大项概念的基础之上的。

  1.最小项和最大项

  (1)最小项

  定义:如果一个具有n个变量的函数的“与项”包含全部n个变量,每个变量都以原变量或反变量形式出现一次,且仅出现一次,则该“与项”被称为最小项。有时又将最小项称为标准“与”项。

  数目:n个变量可以构成2n个最小项。例如,3个变量A、B、C可以构成、…、ABC共8个最小项。

  简写:通常用mi表示最小项。下标i的取值规则是:按照变量顺序将最小项中的原变量用1表示,反变量用0表示,由此得到一个二进制数,与该二进制数对应的十进制数即下标i的值。

  例如,3变量A、B、C构成的最小项可用m5表示。因为  

  

  性质:最小项具有如下4条性质。

  性质1: 任意一个最小项,其相应变量有且仅有一种取值使这个最小项的值为1。并且,最小项不同,使其值为1的变量取值不同。

  性质2:相同变量构成的两个不同最小项相“与”为0。因为任何一种变量取值都不可能使两个不同最小项同时为1,故相“与”为0。即

  性质3:n个变量的全部最小项相“或”为1。通常借用数学中的累加符号“Σ”,将其记为

  这是因为对于n个变量的任何一种取值,都有相应的一个最小项为1,因此,全部最小项相或必为1。

  性质4:n个变量构成的最小项有n个相邻最小项。

  相邻最小项是指除一个变量互为相反外,其余部分均相同的最小项。例如 ,三变量最小项和ABC。

  (2)最大项

  定义:如果一个具有n个变量的函数的“或”项包含全部n个变量,每个变量都以原变量或反变量形式出现一次,且仅出现一次,则该“或”项被称为最大项。有时又将最大项称为标准“或”项。

  数目:n个变量可以构成2n 个最大项。例如,3个变量A、B、C可构成A+B+C、共8个最大项。

  简写:通常用Mi表示最大项。下标i的取值规则是:按照变量顺序将最大项中的原变量用0表示,反变量用1表示,由此得到一个二进制数,与该二进制数对应的十进制数即下标i的值。

  例如,3个变量A、B、C构成的最大项可用M5表示。因为

  性质:最大项具有如下4条性质。

  性质1:任意一个最大项,其相应变量有且仅有一种取值使这个最大项的值为0。并且,最大项不同,使其值为0的变量取值不同。

  性质2:相同变量构成的两个不同最大项相“或”为1。因为任何一种变量取值都不可能使两个不同最大项同时为0,故相“或”为1,即

  性质3:n个变量的全部最大项相“与”为0。通常借用数学中的累乘符号“Π”将其记为

  这是因为对于n个变量的任何一种取值,都有相应的一个最大项为0,因此,全部最大项相与必为0。

  性质4:n个变量构成的最大项有n个相邻最大项。相邻最大项是指除一个变量互为相反外,其余变量均相同的最大项。

  (3)最小项与最大项的关系

  在同一问题中下标相同的最小项和最大项互为反函数,或者说,相同变量构成的最小项mi和最大项Mi之间存在互补关系。即

 或 

  2.逻辑函数表达式的标准形式

  (1)标准与-或表达式

  由若干最小项相“或”构成的逻辑表达式称为标准“与-或”表达式,也叫做最小项表达式。例如,是一个3变量函数的标准“与-或”表达式。 该函数表达式又可简写为

 

  (2)标准或-与表达式

  由若干最大项相“与”构成的逻辑表达式称为标准“或-与”表达式,也叫做最大项表达式 。例如,是一个3变量函数的标准“或-与”表达式。该表达式又可简写为

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